[R-es] Comparaciones múltiples en ANOVA anidadp

José Trujillo Carmona trujillo en unex.es
Lun Feb 6 18:44:08 CET 2012 

El valor que no cuadra es el Cuadrado Medio del denominador de F.

Para fit.lmer es:  1.3455/1.1142=1,207592892

Y para AnovaModel.2 es: 1.027 (MS Residuals en Error(Individuo))

La diferencia en las estimas es casi un 18% mayor y eso tratándose de un 
caso donde no hay varianzas adicionales ni el diseño está desequilibrado.

La varianza que para el error estima lmer está entre la estimación que 
aov hace del error puro (1.284) y la que hace de la varianza entre 
individuos (1.027).

La situación no cambia sustancialmente si utilizo REML=F. Los números 
sí, pero la idea no.

Supongo que la diferencia viene, como apuntas, por la utilización de la 
estimación ML. AOV en cambio utiliza la estimación Mínimo Cuadrática de 
los parámetros del modelo lineal y a partir de ahí la estimación 
insesgada de las varianzas total, residual y parciales.

El problema es que la estimación del MS del Error es crítico para el 
test de Tukey.

Quizás tenga que olvidarme de la estimación mínimo cuadrática si tengo 
que habérmelas con modelos desequlibrados y estudiarme la estimación 
máximo verosímil.

Gracias.





El 06/02/12 14:33, Olivier Nuñez escribió:
> José,
>
> perdona si no interpreto bien tu correo,
> ¿pero es la diferencia de salida de fit,lmer y AnovaModel.2 que no te 
> cuadra?
> ¿Cual es tu valor de referencia para la suma de cuadrados?
>
> Tenemos que
> #> summary(AnovaModel.2)
>
> Error: Individuo
>             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
> Tratamiento  4  4.457   1.114   1.085  0.415
> Residuals   10 10.270   1.027
>
> #> anova(fit.lmer)
> Analysis of Variance Table
>             Df Sum Sq Mean Sq F value
> Tratamiento  4 4.4568  1.1142  1.3455
>
> que resultan en realidad muy parecidas.
> Ten en cuenta, que los métodos de cálculos de ambos enfoques (aov y 
> lmer) son distintos.
> Además, lmer está calculado con REML (restricted maximum likelihood).
> Puedes probar, REML=FALSE para que lmer utilicé el Maximum Likelihood 
> a secas:
>
> fit.lmer <- lmer(VR ~ Tratamiento+(1|Individuo:Tratamiento), 
> data=Medidas, REML=FALSE)
>
> Un saludo. Olivier
> -- ____________________________________
>
> Olivier G. Nuñez
> Email: onunez en iberstat.es
> Tel : +34 663 03 69 09
> Web: http://www.iberstat.es
>
> ____________________________________
>
>
>
>
> El 06/02/2012, a las 12:27, José Trujillo Carmona escribió:
>
>> Gracias Olivier.
>>
>> Pero el análisis de la varianza sigue sin ser el que cabría esperar 
>> de los Cuadrados Medios del modelo mixto:
>>
>> Cuadrados medios esperados (Textos ya citados):
>> Suma (media(x)_i - media(x)_T)^2 / (a-1) -> var(epsilon) + n 
>> sigma^2_B + n b (suma alfa_i)^2 / (a-1)
>> Suma (media(x)_ij - media(x)_i)^2 / (ba-a) -> var(epsilon) + n sigma^2_B
>> Suma (x_ijl - media(x)_ij)^2 / (abn-ab) -> var(epsilon)
>>
>> Las ejecuciones son cada vez distintas por la ejecución de rnorm()
>>
>> #> AnovaModel.2 <- aov(VR ~ Tratamiento + Error(Individuo),data=Medidas)
>> #> AnovaModel.3 <- lmer(VR ~ Tratamiento+(1|Tratamiento/Individuo), 
>> data=Medidas)
>> #> fit.lmer <- lmer(VR ~ Tratamiento+(1|Individuo:Tratamiento), 
>> data=Medidas)
>> #> summary(AnovaModel.2)
>>
>> Error: Individuo
>>             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
>> Tratamiento  4  4.457   1.114   1.085  0.415
>> Residuals   10 10.270   1.027
>>
>> Error: Within
>>           Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
>> Residuals 30  22.85  0.7618
>>
>> #> > anova(AnovaModel.3)
>> Analysis of Variance Table
>>             Df Sum Sq Mean Sq F value
>> Tratamiento  4 1.2155 0.30388   0.367
>>
>> #> anova(fit.lmer)
>> Analysis of Variance Table
>>             Df Sum Sq Mean Sq F value
>> Tratamiento  4 4.4568  1.1142  1.3455
>>
>> En realidad el valor de F se aleja aún más del valor que estoy buscando.
>>
>> ¿Quizás es por la utilización de estimas de Máxima Verosimilitud?
>> ¿Se le pueden pedir estimas Minimo Cuadráticas a lmer?
>>
>> Gracias.
>>
>>
>> UN PROBLEMA que surgiría con la propuesta de Luciano: promediar los 
>> individuos, es que si se pierden datos tendría que ponderar sus 
>> medias o algo parecido que tendría que calcular previamente al 
>> análisis. El problema se complicaría. Supongo que el modelo tendría 
>> este problema
>>
>>
>>
>> El 06/02/12 01:17, Olivier Nuñez escribió:
>>> José,
>>>
>>> la expansión de (1|Tratamiento/Individuo) es (1|Individuo:Tratamiento)
>>> +  (1|Tratamiento)
>>>
>>> SI como creo, sólo te interesa estimar los efectos fijos de
>>> "Tratamiento", te sugiero escribir
>>>
>>> fit.lmer <- lmer(VR ~ Tratamiento+(1|Individuo:Tratamiento),
>>> data=Medidas);anova(fit.lmer)
>>>
>>> Un saludo. Olivier
>>>
>>> -- ____________________________________
>>>
>>> Olivier G. Nuñez
>>> Email: onunez en iberstat.es
>>> Tel : +34 663 03 69 09
>>> Web: http://www.iberstat.es
>>>
>>> ____________________________________
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> El 05/02/2012, a las 18:31, José Trujillo Carmona escribió:
>>>
>>>> Sí, promediar cada individuo sería una solución. La solución parece
>>>> un poco chapuza, pero es perfectamente correcta.
>>>>
>>>> Como expliqué no es la opción utilizada en los textos consultados y
>>>> me parece extraño que no pueda escribir el modelo completo en R.
>>>>
>>>> Respecto a que en (1|Tratamiento/Individuo) Tratamiento sea
>>>> aleatorio, no sé muy bien lo que quieres decir.
>>>>
>>>> El resultado de "VR ~ (1|Tratamiento) + (1|Tratamiento/Individuo)",
>>>> donde especifico que Tratamiento es aleatorio no es el mismo que en
>>>> "VR ~ Tratamiento + (1|Tratamiento/Individuo)".
>>>>
>>>> Yo intento decir que Individuo sí es un factor aleatorio y que está
>>>> dentro de Tratamiento; si esto no se dice con
>>>> (1|Tratamiento/Individuo) es precisamente el motivo de mi pregunta
>>>> ¿Cómo lo digo con lmer o con lme? Con lme solo me interesa en el caso
>>>> de que después pueda utilizar glht con el modelo de lme.
>>>>
>>>>
>>>>
>>>>
>>>>
>>>> El 05/02/12 13:57, Luciano Selzer escribió:
>>>>> José,
>>>>> 1. de todas formas si cada individuo se uso solo en un tratamiento no
>>>>> es necesario poner Tratamiento/Individuo. Al poner esa forma estás
>>>>> especificando que Tratamiento es un factor aleatorio
>>>>> 2. El método anova.lmer va a obviar los factores aleatorios, no es 
>>>>> que
>>>>> no lo este considerando sino que de esa forma no va a aparecer en el
>>>>> analisis.
>>>>> 3.Si no es de tu interés estimar la variabilidad dentro de cada
>>>>> individuo puedes promediar sus mediciones y listo. Así podes usar aov
>>>>> sin necesidad de usar el término de error.
>>>>>
>>>>> Un Saludo
>>>>> Luciano
>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>>> El día 5 de febrero de 2012 07:58, José Trujillo Carmona
>>>>> <trujillo en unex.es>  escribió:
>>>>>
>>>>>> Es que lo individuos son únicos para cada tratamiento.
>>>>>>
>>>>>> Los tres individuos de cada tratamiento no reciben los otros
>>>>>> tratamientos.
>>>>>>
>>>>>> Por eso no puedo utilizar simplemente:
>>>>>>
>>>>>> Anova.Model<- aov(VR ~ Tratamiento + Individuo, data=Medidas)
>>>>>>
>>>>>> Sino que debería señalar que la variabilidad entre Tratamientos la
>>>>>> dan los
>>>>>> individuos, que son distintos en cada tratamiento (función 
>>>>>> 'Error' en
>>>>>> 'aov').
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>> En los datos tengo:
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>>> xtabs(~Individuo+Tratamiento, data=Medidas)
>>>>>>>
>>>>>>          Tratamiento
>>>>>> Individuo 1 2 3 4 5
>>>>>>        1  3 0 0 0 0
>>>>>>        2  3 0 0 0 0
>>>>>>        3  3 0 0 0 0
>>>>>>        4  0 3 0 0 0
>>>>>>        5  0 3 0 0 0
>>>>>>        6  0 3 0 0 0
>>>>>>        7  0 0 3 0 0
>>>>>>        8  0 0 3 0 0
>>>>>>        9  0 0 3 0 0
>>>>>>        10 0 0 0 3 0
>>>>>>        11 0 0 0 3 0
>>>>>>        12 0 0 0 3 0
>>>>>>        13 0 0 0 0 3
>>>>>>        14 0 0 0 0 3
>>>>>>        15 0 0 0 0 3
>>>>>>
>>>>>> Los individuos están "anidados" respecto de los tratamientos y la
>>>>>> variabilidad entre tratamientos, aunque no haya diferencias
>>>>>> significativas
>>>>>> entre los tratamientos, al menos ha de ser tan grande como la
>>>>>> variabilidad
>>>>>> entre individuos. Precisamente porque al no estar repetidos los
>>>>>> individuos
>>>>>> en los tratamientos no puedo descontar la variabilidad de los
>>>>>> individuos en
>>>>>> los tratamientos.
>>>>>>
>>>>>> Las observaciones, al estar repetidas las de cada individuo, pueden
>>>>>> variar
>>>>>> menos que los individuos y si hay diferencias entre individuos, hay
>>>>>> que
>>>>>> evitar en el contraste que se confunda con las posibles diferencias
>>>>>> entre
>>>>>> tratamientos.
>>>>>>
>>>>>> Por otra parte el análisis que tu propones incurre en
>>>>>> pseudorreplicación
>>>>>> extrema: en el Anova obvia por completo a los individuos como si
>>>>>> fuese un
>>>>>> factor inexistente:
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>>> AnovaModel.5<-lmer(VR ~ Tratamiento + (1|Individuo), data = 
>>>>>>> Medidas)
>>>>>>>
>>>>>>
>>>>>>> anova(AnovaModel.5)
>>>>>>>
>>>>>> Analysis of Variance Table
>>>>>>             Df  Sum Sq Mean Sq F value
>>>>>> Tratamiento  4 0.57051 0.14263   0.245
>>>>>>
>>>>>> Si hago el análisis con un único factor, como si todas las
>>>>>> observaciones
>>>>>> fuesen independientes:
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>>> AnovaModel.6<-aov(VR ~ Tratamiento, data=Medidas)
>>>>>>>
>>>>>>
>>>>>>> summary(AnovaModel.6)
>>>>>>>
>>>>>>             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
>>>>>> Tratamiento  4  0.571  0.1426   0.245  0.911
>>>>>> Residuals   40 23.287  0.5822
>>>>>>
>>>>>> Es el mismo análisis de la varianza (la misma F).
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>> Gracias Luciano por el interés.
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>> El 05/02/12 04:14, Luciano Selzer escribió:
>>>>>>
>>>>>>> Hola José, puedo estár equivocado porque son las 12 de la noche ...
>>>>>>>
>>>>>>> Pero creo que el modelo equivalente en lmer es
>>>>>>> lmer(VR ~ Tratamiento + (1|Individuo), data = Medidas)
>>>>>>>
>>>>>>> El otro modelo implica que tus individuos son únicos para cada
>>>>>>> tratamiento.
>>>>>>>
>>>>>>> Un saludo
>>>>>>>
>>>>>>> Luciano
>>>>>>>
>>>>>>>
>>>>>>>
>>>>>>> El día 4 de febrero de 2012 16:45, José Trujillo Carmona
>>>>>>> <trujillo en unex.es>    escribió:
>>>>>>>
>>>>>>>
>>>>>>>> Explico un poco más el problema con lmer:
>>>>>>>>
>>>>>>>> Si utilizo lmer, todo parece funcionar, pero el análisis de la
>>>>>>>> varianza
>>>>>>>> no
>>>>>>>> es consistente con el de aov:
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>> AnovaModel.4<- lmer(VR ~ Tratamiento + (1|Tratamiento/Individuo),
>>>>>>>>> data=Medidas)
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>> Pares<- glht(AnovaModel.3, linfct = mcp(Tratamiento = "Tukey"))
>>>>>>>>> summary(Pares)
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>
>>>>>>>>      Simultaneous Tests for General Linear Hypotheses
>>>>>>>>
>>>>>>>> Multiple Comparisons of Means: Tukey Contrasts
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>> Fit: lmer(formula = VR ~ Tratamiento + (1 |
>>>>>>>> Tratamiento/Individuo),  data
>>>>>>>> =
>>>>>>>> Medidas)
>>>>>>>>
>>>>>>>> Linear Hypotheses:
>>>>>>>>            Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
>>>>>>>> 2 - 1 == 0 -0.14933    0.93547  -0.160    1.000
>>>>>>>> 3 - 1 == 0 -0.13078    0.93547  -0.140    1.000
>>>>>>>> 4 - 1 == 0  0.24593    0.93547   0.263    0.999
>>>>>>>> 5 - 1 == 0 -1.08025    0.93547  -1.155    0.777
>>>>>>>> 3 - 2 == 0  0.01855    0.93547   0.020    1.000
>>>>>>>> 4 - 2 == 0  0.39526    0.93547   0.423    0.993
>>>>>>>> 5 - 2 == 0 -0.93091    0.93547  -0.995    0.858
>>>>>>>> 4 - 3 == 0  0.37671    0.93547   0.403    0.994
>>>>>>>> 5 - 3 == 0 -0.94947    0.93547  -1.015    0.849
>>>>>>>> 5 - 4 == 0 -1.32618    0.93547  -1.418    0.616
>>>>>>>> (Adjusted p values reported -- single-step method)
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>> anova(AnovaModel.4)
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>
>>>>>>>> Analysis of Variance Table
>>>>>>>>
>>>>>>>>             Df Sum Sq Mean Sq F value
>>>>>>>> Tratamiento  4 2.4993 0.62482  0.5819
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>> AnovaModel.2<- aov(VR ~ Tratamiento +
>>>>>>>>> Error(Individuo),data=Medidas)
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>> summary(AnovaModel.2)
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>
>>>>>>>> Error: Individuo
>>>>>>>>             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
>>>>>>>> Tratamiento  4  9.166  2.2915   3.473 0.0502 .
>>>>>>>> Residuals   10  6.599  0.6599
>>>>>>>> ---
>>>>>>>> Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>> Error: Within
>>>>>>>>           Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
>>>>>>>> Residuals 30  36.35   1.212
>>>>>>>>
>>>>>>>> No comprendo como habría de escribir la función en lmer para que
>>>>>>>> fuese
>>>>>>>> equivalente al de aov que creo congruente con los textos:
>>>>>>>>
>>>>>>>> Bioestaticas Analysis de Zar
>>>>>>>> Bimetry de Sokal y Rohlf
>>>>>>>> Bioestadística de Steel y Torrie
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>> Reitero mi agradecimiento por aguantar
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>> El 04/02/12 20:05, José Trujillo Carmona escribió:
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>> Dispongo de un experimento en el que cinco tratamientos ha sido
>>>>>>>>> aplicados
>>>>>>>>> a cinco grupos de voluntarios.
>>>>>>>>>
>>>>>>>>> En cada grupo había tres personas y a cada persona se le 
>>>>>>>>> tomaron 3
>>>>>>>>> medidas,
>>>>>>>>>
>>>>>>>>> En total dispongo de 45 medidas, pero evidentemente no son
>>>>>>>>> independientes
>>>>>>>>> entre sí. Si no tomo en cuenta que las medidas de la misma
>>>>>>>>> persona son
>>>>>>>>> más
>>>>>>>>> parecidas entre sí (bloques anidados) estaría incurriendo en
>>>>>>>>> pseudoreplicación.
>>>>>>>>>
>>>>>>>>> Los datos y el análisis se podrían hacer de la siguiente forma:
>>>>>>>>>
>>>>>>>>> Generación de datos para ejemplo:
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>> Medidas<- as.data.frame(matrix(rnorm(45*1, mean=10, sd=1),
>>>>>>>>>> ncol=1))
>>>>>>>>>> colnames(Medidas)<- "VR"
>>>>>>>>>> Medidas$Tratamiento<- as.factor(rep(1:5,rep(9,5)))
>>>>>>>>>> Medidas$Individuo<- as.factor(rep(1:15,rep(3,15)))
>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>
>>>>>>>>> El análisis de la varianza sugerido podría ser:
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>> AnovaModel.1<-aov(VR ~ Tratamiento + Tratamiento/Individuo,
>>>>>>>>>> data=Medidas)
>>>>>>>>>> summary(AnovaModel.1)
>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>                       Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
>>>>>>>>> Tratamiento            4   1.15  0.2871    0.25  0.907
>>>>>>>>> Tratamiento:Individuo 10  12.39  1.2395    1.08  0.407
>>>>>>>>> Residuals             30  34.44  1.1479
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>
>>>>>>>>> Pero este análisis incurre en evidente pseudoreplicación: El
>>>>>>>>> valor F es
>>>>>>>>> el
>>>>>>>>> cociente entre el Cuadrado Medio del Tratamiento y los Residuos
>>>>>>>>> como si
>>>>>>>>> las
>>>>>>>>> 45 mediciones fuesen independientes entre sí.
>>>>>>>>>
>>>>>>>>> Para tener en cuenta que la variabilidad inducida en la
>>>>>>>>> respuesta por
>>>>>>>>> los
>>>>>>>>> Tratamientos debe ser medida entre individuos y no entre
>>>>>>>>> mediciones el
>>>>>>>>> análisis procedente podría ser:
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>> AnovaModel.2<- aov(VR ~ Tratamiento +
>>>>>>>>>> Error(Individuo),data=Medidas)
>>>>>>>>>> summary(AnovaModel.2)
>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>
>>>>>>>>> Error: Individuo
>>>>>>>>>             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
>>>>>>>>> Tratamiento  4  1.148  0.2871   0.232  0.914
>>>>>>>>> Residuals   10 12.395  1.2395
>>>>>>>>>
>>>>>>>>> Error: Within
>>>>>>>>>           Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
>>>>>>>>> Residuals 30  34.44   1.148
>>>>>>>>>
>>>>>>>>> Pero el objeto AnovaModel.2 no es un objeto aov sino aovlist:
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>> attr(AnovaModel.2,"class")
>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>
>>>>>>>>> [1] "aovlist" "listof"
>>>>>>>>>
>>>>>>>>> Como consecuencia no puedo utilizarlo ni para la función glht ni
>>>>>>>>> para la
>>>>>>>>> función TukeyHSD.
>>>>>>>>>
>>>>>>>>> Puedo "extraer" un aov:
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>> ls.str(pat="AnovaModel.2")
>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>
>>>>>>>>> AnovaModel.2 : List of 3
>>>>>>>>>   $ (Intercept):List of 9
>>>>>>>>>   $ Individuo  :List of 9
>>>>>>>>>   $ Within     :List of 6
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>> AnovaModel.3<-AnovaModel.2$Individuo
>>>>>>>>>> attr(AnovaModel.3,"class")
>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>
>>>>>>>>> [1] "aov" "lm"
>>>>>>>>>
>>>>>>>>> A este modelo ya puedo pedirle límites de confianza adecuados
>>>>>>>>> para los
>>>>>>>>> parámetros del modelo (diferencias entre Tratamientos):
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>> confint(AnovaModel.3)
>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>                      2.5 %    97.5 %
>>>>>>>>> Tratamiento[T.2] -1.485182 0.8535804
>>>>>>>>> Tratamiento[T.3] -1.072891 1.2658714
>>>>>>>>> Tratamiento[T.4] -1.258890 1.0798723
>>>>>>>>> Tratamiento[T.5] -1.453857 0.8849054
>>>>>>>>>
>>>>>>>>> Pero el nuevo modelo sigue siendo inválido para glht o para
>>>>>>>>> TuleyHSD:
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>> Pares<- glht(AnovaModel.3, linfct = mcp(Tratamiento = "Tukey"))
>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>
>>>>>>>>> [1] ERROR:   no 'model.matrix' method for 'model' found!
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>> TukeyHSD(AnovaModel.3, "Tratamiento")
>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>
>>>>>>>>> [2] ERROR:  this fit does not inherit from "lm"
>>>>>>>>>
>>>>>>>>> Para no alargarme en mis indagaciones. Para los análisis de la
>>>>>>>>> varianza
>>>>>>>>> podría haber utilizado las funciones lme del paquete nlme o lmer
>>>>>>>>> del
>>>>>>>>> paquete
>>>>>>>>> lme4, pero tampoco proporcionan objetos válidos para glht o
>>>>>>>>> TukeyHSD.
>>>>>>>>>
>>>>>>>>> ¿Alguien sabe como abordar las comparaciones múltiples con 
>>>>>>>>> medidas
>>>>>>>>> repetidas o anova anidado?
>>>>>>>>>
>>>>>>>>> Gracias de antemano.
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>
>>>>>>>> -- 
>>>>>>>> _____---^---_____
>>>>>>>>
>>>>>>>> Univ. de Extremadura
>>>>>>>> Dept. Matemáticas.
>>>>>>>> Despacho B29
>>>>>>>> Tf: + 34 924 289 300
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>>>>>>>> https://stat.ethz.ch/mailman/listinfo/r-help-es
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