#6. Nov. 2000.
library(SfS)
library(ts)#Immer zu Beginn !

#Simulation autoregressiver Prozess
help(filter)#erklaert genauer, was die Funktion filter macht.
x <- filter(ts(rnorm(100)),filter=0.5,method="recursive",init=rnorm(1))
plot(x)
#Variieren Sie den Wert 0.5 und beschreiben Sie das qualitative Verhalten !
x_ts(rnorm(100))
for (i in (2:100)) x[i] <- 0.5*x[i-1]+x[i]
#Simulation ohne die Funktion filter, gleiches Ergebnis

#ARCH-Prozesse
f.arch.sim <- function(n=500,init=200,a)
{
  ## Purpose: Simulating the Arch(1) process
  ## -------------------------------------------------------------------------
  ## Arguments: n=length of the series, init=length of the initial segment
  ## that is discarded, a= Parameter of the model
  ## -------------------------------------------------------------------------
  ## Author: Hans-Ruedi Kuensch, Date:  5 Feb 97, 16:49
m <- n+init
x <- rnorm(m)
for (i in (2:m)) x[i] <- sqrt(1+a*x[i-1]^2)*x[i]
ts(x[(init+1):m],start=1)}

plot(f.arch.sim(a=0.8))
#Variieren Sie den Parameter und beschreiben Sie das qualitative Verhalten

#Behandlung von Saisoneffekten und Trends
airline_ts(scan.url("http://stat.ethz.ch/Teaching/Datasets/airline.dat"),
           start=c(1949,1),freq=12)
#1. Parametrische Schaetzung von Trend und Saisoneffekten
zeit <- (1:144)/12 #Definition der Zeit als erklaerende Variable
zeit2 <- zeit^2
monat <-  factor(rep(1:12,12))
#Definition der Monate als erklaerende Variable 
reg.airl <- lm(log(airline)~zeit+zeit2+monat)
#Anpassen mit Kleinsten Quadraten
coef(reg.airl)
par(mfrow=c(3,1))
plot(log(airline))
plot(fitted(reg.airl))
plot(resid(reg.airl),type="l")
abline(h=0)

#2. Differenzenbildung
plot(diff(log(airline))) #gewoehnliche Differenzen
plot(diff(diff(log(airline)),lag=12)) #saisonale und gewoehnliche Differenzen

#3. nichtparametrische Zerlegung in Komponenten
help(stl)
airl.stl <- stl(log(airline),s.window=7,t.window=21)
airl.stl <- stl(log(airline),s.window=7,t.window=21,robust=T)
airl.stl <- stl(log(airline),s.window="periodic",t.window=99)
#(Gleiches Resultat wie bei parametrischer Zerlegung (Trend linear))
plot.stl(airl.stl)
#Untersuchen Sie die Effekte, wenn man die verschiedenen Parameter variiert
#Untersuchen Sie die Effekte von Ausreissern, z.B.
airline[73] <- 442
airline[73] <- 242
#Vergleich Differenzenbildung und Elimination mit stl:
str(airl.stl)
airl.irregular <- airl.stl$time.series[,3]#Extrahieren des irregulaeren Teils
plot(ts.union(diff(diff(log(airline)),lag=12),airl.irregular))
plot(ts.union(diff(diff(log(airline)),lag=12),airl.irregular),
     plot.type="s",col=2:3)